Bacalaureat 2021
Model M1
Subiectul I (30puncte)
1.(5p) Demonstrați că 2log45+3log95=2√5.
2.(5p) Rezolvați inecuația √x<x−1.
3.(5p) Considerăm funcția f:R→R, f(x)={x2+3,x<12x ,x≥1). Calculați f∘f.
4.(5p) Câte numere formate din trei cifre au suma cifrelor egală cu 8?
5.(5p) Fie z=2√3+2ⅈ. Calculați arg(z). (arg(z)∈[0;2π) reprezintă argumentul redus al lui z)
6.(5p) În triunghiul ABC se cunosc a=5 și ma=3. Calculați b2+c2.
Subiectul II (30 puncte)
1.Fie M={A∈M3({1:2;3})| det(A)≠0}
a)(5p) Dacă A=⎛⎜⎝112211311⎞⎟⎠ , demonstrați că A∈M.
b)(5p) Rezolvați sistemul ⎧⎪⎨⎪⎩x+y+2z=52x+y+z=63x+y+z=8⎞⎟⎠.
c)(5p) Demonstrați că oricare ar fi X∈M avem X2∉M.
2.Pe G=[0;1) definim legea de compoziție x*y={−xy+x+y}, unde {x} reprezintă partea fracționară lui x.
a)(5p) Calculați 13*12.
b)(5p) Demonstrați că ⅇ=0 este elementul neutru al legii de compoziție *.
c)(5p) Demonstrați că (G;*) nu este grup.
Subiectul III (30 puncte)
1.Fie f;R→R, f(x)=−140x2+1110x și (an)n∈N definit prin a0=1, an+1=f(an), ∀n∈N.
a)(5p) Demonstrați că ∀x∈[0;4] avem f(x)∈[0;4].
b)(5p) Demonstrați că șirul (an)n∈N este convergent.
c)(5p) Calculați limn→∞(5−an)3an16−a2n.
2.Considerăm funcțiile h,H:R→R, h(x)=x+ln(x2+1)
H(x)=x22−2x+xln(x2+1)+2arctgx
a)(5p) Demonstrați că funcția H este o primitivă a funcției h.
b)(5p) Demonstrați că orice primitivă a funcției h are un singur punct de extrem.
c)(5p) Calculați 1∫0(2x+1)ln(x4+2x3+x2+1)ⅆx.
Lasă un răspuns